pq-Formel einfach erklärt - simpleclub (2024)

FächerMathematikAnalysis

pq-Formel

Inhaltsübersicht

Mit der pq-Formel kannst du Nullstellen von quadratischen Funktionen bestimmen.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

x1,2=−2p±(2p)2−q

Erklärung

Eine quadratische Funktion hat die normierte Form:

f(x) = x^2 + px+q

f(x) = x^2 + px+q

f(x)=x2+px+q

Hierbei sind p $p$ p und q $q$ q irgendwelche reelle Zahlen.

Möchtest du die Nullstellen dieser Funktion bestimmen, musst du sie 0 $0$ 0 setzen.

x^2+px+q=0

x^2+px+q=0

x2+px+q=0

und nach x $x$ x auflösen.

Mit Hilfe der pq-Formel kannst du direkt die Lösungen ausrechnen.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

x1,2=−2p±(2p)2−q

Nullstellen und Diskriminante

Eine quadratische Funktion kann 0, 1 $0, 1$ 0,1 oder 2 $2$ 2 Nullstellen haben.

Mit der pq-Formel lässt sich herausfinden, wieviele Nullstellen eine quadratische Funktion besitzt und wie du sie berechnest.

Der Term unter der Wurzel

\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q

\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q

(2p)2−q

heißt Diskriminante.

Je nachdem, ob die Diskriminante größer, gleich oder kleiner Null ist, hat die Funktion 2, 1 $2, 1$ 2,1 oder 0 $0$ 0 Nullstellen.

x^2 - 1 $x^2 - 1$ x2−1	x^2 $x^2$ x2	x^2+1 $x^2+1$ x2+1
Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen	Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen	Besuche die App, um diesen Graphen zu sehen
2 Nullstellen	1 Nullstelle	0 Nullstellen
\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q > 0 $\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q > 0$ (2p)2−q>0	\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q =0 $\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q =0$ (2p)2−q=0	\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q <0 $\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q <0$ (2p)2−q<0

Umformung zur normierten Form

Hat eine quadratische Funktion die Form

ax^2+bx+c = 0

ax^2+bx+c = 0

ax2+bx+c=0

wobei a, b, c $a, b, c$ a,b,c irgendwelche reelle Zahlen sind und

a \neq 0

a \neq 0

a=0

kannst du sie normieren.

Du teilst auf beiden Seiten der Gleichung durch a $a$ a und erhältst:

\dfrac{a}{a}\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x+\dfrac{c}{a} =\dfrac{0}{a}

\dfrac{a}{a}\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x+\dfrac{c}{a} =\dfrac{0}{a}

aa⋅x2+ab⋅x+ac=a0

1\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x + \dfrac{c}{a} = 0

1\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x + \dfrac{c}{a} = 0

1⋅x2+ab⋅x+ac=0

Jetzt kannst du die beiden Brüche umbenennen.

p:= \dfrac{b}{a} \space\space\space\space\space\space q:= \dfrac{c}{a}

p:= \dfrac{b}{a} \space\space\space\space\space\space q:= \dfrac{c}{a}

p:=abq:=ac

Du erhältst die Form:

x^2+px+q=0

x^2+px+q=0

x2+px+q=0

Beispiele

pq-Formel - zwei Lösungen

Bestimme die Nullstellen der Funktion

f(x) = x^2+5x+6

f(x) = x^2+5x+6

f(x)=x2+5x+6

Setze die Funktion gleich Null.

x^2+5x+6 = 0

x^2+5x+6 = 0

x2+5x+6=0

Die quadratische Funktion ist bereits in der normierten Form (Vorfaktor vorm quadratischen Term ist 1). Es sind keine Umformungen notwendig.

Bestimme die Koeffizienten

p = 5

p = 5

p=5

q=6

q=6

q=6

und setze sie in die pq-Formel ein.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

x1,2=−2p±(2p)2−q

Das sieht dann so aus:

Du erhältst:

x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-6}

x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-6}

x1,2=−25±(25)2−6

Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.

x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - \dfrac{24}{4}} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{sc_color_1}{\dfrac{1}{4}}}

x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - \dfrac{24}{4}} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{#7F7706}{\dfrac{1}{4}}}

x1,2=−25±425−424=−25±41

Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) ist:

\textcolor{sc_color_1}{\frac{1}{4}}>0

\textcolor{#7F7706}{\frac{1}{4}}>0

41>0

Es gibt also zwei Lösungen:

x_{1} = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{-4}{2} = \underline{\underline{-2}}

x_{1} = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{-4}{2} = \underline{\underline{-2}}

x1=−25+21=2−4=−2

x_2 = -\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{-6}{2} = \underline{\underline{-3}}

x_2 = -\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{-6}{2} = \underline{\underline{-3}}

x2=−25−21=2−6=−3

Die Lösungsmenge lautet:

L=\{-2;-3\}

L=\{-2;-3\}

L={−2;−3}

Entdecke unseren AI Tutor

pq-Formel - eine Lösung

Bestimme die Nullstellen der Funktion

f(x) = 4x^2-20x+25

f(x) = 4x^2-20x+25

f(x)=4x2−20x+25

Setze die Funktion gleich Null.

4x^2-20x+25 = 0

4x^2-20x+25 = 0

4x2−20x+25=0

Die quadratische Funktion ist nicht normiert. Teile also durch den Vorfaktor

4x^2 - 20x+25 = 0 \space\space\space | :4

4x^2 - 20x+25 = 0 \space\space\space | :4

4x2−20x+25=0∣:4

x^2 -5x+6,25 = 0

x^2 -5x+6,25 = 0

x2−5x+6,25=0

Bestimme die Koeffizienten

p = (-5)

p = (-5)

p=(−5)

q=6,25

q=6,25

q=6,25

und setze sie in die pq-Formel ein.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

x1,2=−2p±(2p)2−q

Das sieht dann so aus:

Du erhältst:

x_{1,2} = -\dfrac{(-5)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-5)}{2}\right)^2-6,25}

x_{1,2} = -\dfrac{(-5)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-5)}{2}\right)^2-6,25}

x1,2=−2(−5)±(2(−5))2−6,25

Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.

x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - 6,25}

x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - 6,25}

x1,2=25±425−6,25

x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{6,25 - 6,25} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{sc_color_1}{0}}

x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{6,25 - 6,25} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{#7F7706}{0}}

x1,2=25±6,25−6,25=25±0

Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) ist:

\textcolor{sc_color_1}{0}

\textcolor{#7F7706}{0}

Es gibt also eine Lösung.

x = \dfrac{5}{2} + 0 = \underline{\underline{\dfrac{5}{2}}}

x = \dfrac{5}{2} + 0 = \underline{\underline{\dfrac{5}{2}}}

x=25+0=25

Die Lösungsmenge lautet:

\underline{\underline{L=\left\{\dfrac{5}{2}\right\}}}

\underline{\underline{L=\left\{\dfrac{5}{2}\right\}}}

L={25}

pq-Formel - keine Lösung

Bestimme die Nullstellen der Funktion

f(x) = \frac{1}{2}x^2-3x+5

f(x) = \frac{1}{2}x^2-3x+5

f(x)=21x2−3x+5

Setze die Funktion gleich Null.

\frac{1}{2}x^2-3x+5 = 0

\frac{1}{2}x^2-3x+5 = 0

21x2−3x+5=0

Die quadratische Funktion ist nicht normiert. Multipliziere mit 2 $2$ 2.

\frac{1}{2}x^2-3x+5 = \space\space\space |\cdot 2

\frac{1}{2}x^2-3x+5 = \space\space\space |\cdot 2

21x2−3x+5=∣⋅2

x^2-6x+10=0

x^2-6x+10=0

x2−6x+10=0

Bestimme die Koeffizienten

p = (-6)

p = (-6)

p=(−6)

q=10

q=10

q=10

und setze sie in die pq-Formel ein.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

x1,2=−2p±(2p)2−q

Das sieht dann so aus:

Du erhältst:

x_{1,2} = -\dfrac{(-6)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-6)}{2}\right)^2-10}

x_{1,2} = -\dfrac{(-6)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-6)}{2}\right)^2-10}

x1,2=−2(−6)±(2(−6))2−10

Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.

\begin{aligned}x_{1,2} & = \dfrac{6}{2} \pm \sqrt{\dfrac{36}{4} - 10} \\[3mm]&= 3\pm \sqrt{9-10} \\[3mm] &= 3\pm\sqrt{\textcolor{sc_color_1}{-1}}\end{aligned}

\begin{aligned}x_{1,2} & = \dfrac{6}{2} \pm \sqrt{\dfrac{36}{4} - 10} \\[3mm]&= 3\pm \sqrt{9-10} \\[3mm] &= 3\pm\sqrt{\textcolor{#7F7706}{-1}}\end{aligned}

x1,2=26±436−10=3±9−10=3±−1

Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) ist

\textcolor{sc_color_1}{-1}<0

\textcolor{#7F7706}{-1}<0

−1<0

Es gibt also keine reelle Lösung.

Die Lösungsmenge ist leer und lautet:

\underline{\underline{L = \emptyset}}

\underline{\underline{L = \emptyset}}

L=∅

Mit der pq-Formel kannst du Nullstellen von quadratischen Funktionen bestimmen.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−2p±(2p)2−q

Eine quadratische Funktion hat die normierte Form

f(x) = x^2 + px+qf(x)=x2+px+qf(x) = x^2 + px+qf(x)=x2+px+q

Hierbei sind pppp und qqqq irgendwelche reelle Zahlen.

Möchtest du die Nullstellen dieser Funktion bestimmen, musst du sie 0000 setzen

x^2+px+q=0x2+px+q=0x^2+px+q=0x2+px+q=0

und nach xxxx auflösen.

Mit Hilfe der pq-Formel kannst du direkt die Lösungen ausrechnen.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−2p±(2p)2−q

Nullstellen und Diskriminante

Eine quadratische Funktion kann 0, 10,10, 10,1 oder 2222 Nullstellen haben.

Mit der pq-Formel lässt sich herausfinden, wieviele Nullstellen eine quadratische Funktion besitzt und wie du sie berechnest.

Der Term unter der Wurzel

\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q(p2)2−q\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q(2p)2−q

heißt Diskriminante.

Je nachdem, ob die Diskriminante größer, gleich oder kleiner Null ist, hat die Funktion 2, 12,12, 12,1 oder 0000 Nullstellen.

x^2 - 1x2−1x^2 - 1x2−1

x^2x2x^2x2

x^2+1x2+1x^2+1x2+1

pq-Formel einfach erklärt - simpleclub (11)

Besuche die App um diesen Graphen zu sehen

Zur App

pq-Formel einfach erklärt - simpleclub (12)

Besuche die App um diesen Graphen zu sehen

Zur App

pq-Formel einfach erklärt - simpleclub (13)

Besuche die App um diesen Graphen zu sehen

Zur App

2 Nullstellen

1 Nullstelle

0 Nullstellen

\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q > 0(p2)2−q>0\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q > 0(2p)2−q>0

\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q =0(p2)2−q=0\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q =0(2p)2−q=0

\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q <0(p2)2−q<0\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q <0(2p)2−q<0

Umformung zur normierten Form

Hat eine quadratische Funktion die Form

ax^2+bx+c = 0ax2+bx+c=0ax^2+bx+c = 0ax2+bx+c=0

wobei a, b, ca,b,ca, b, ca,b,c irgendwelche reelle Zahlen sind und

a \neq 0a≠0a \neq 0a=0

kannst du sie normieren.

Du teilst auf beiden Seiten der Gleichung durch aaaa und erhältst:

\dfrac{a}{a}\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x+\dfrac{c}{a} =\dfrac{0}{a}aa⋅x2+ba⋅x+ca=0a\dfrac{a}{a}\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x+\dfrac{c}{a} =\dfrac{0}{a}aa⋅x2+ab⋅x+ac=a01\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x + \dfrac{c}{a} = 01⋅x2+ba⋅x+ca=01\cdot x^2 + \dfrac{b}{a}\cdot x + \dfrac{c}{a} = 01⋅x2+ab⋅x+ac=0

Jetzt kannst du die beiden Brüche umbenennen.

p:= \dfrac{b}{a} \space\space\space\space\space\space q:= \dfrac{c}{a}p:=baq:=cap:= \dfrac{b}{a} \space\space\space\space\space\space q:= \dfrac{c}{a}p:=abq:=ac

Du erhältst die Form:

x^2+px+q=0x2+px+q=0x^2+px+q=0x2+px+q=0

pq-Formel - zwei Lösungen

Bestimme die Nullstellen der Funktion

f(x) = x^2+5x+6f(x)=x2+5x+6f(x) = x^2+5x+6f(x)=x2+5x+6

Setze die Funktion gleich Null.

x^2+5x+6 = 0x2+5x+6=0x^2+5x+6 = 0x2+5x+6=0

Die quadratische Funktion ist bereits in der normierten Form (Vorfaktor vorm quadratischen Term ist 1). Es sind keine Umformungen notwendig.

Bestimme die Koeffizienten

p = 5p=5p = 5p=5q=6q=6q=6q=6

und setze sie in die pq-Formel ein.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−2p±(2p)2−q

Das sieht dann so aus:

Start

Du erhältst:

x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-6}x1,2=−52±(52)2−6x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-6}x1,2=−25±(25)2−6

Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.

x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - \dfrac{24}{4}} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{sc_color_1}{\dfrac{1}{4}}}x1,2=−52±254−244=−52±14x_{1,2} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - \dfrac{24}{4}} = -\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{#7F7706}{\dfrac{1}{4}}}x1,2=−25±425−424=−25±41

Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) ist:

\textcolor{sc_color_1}{\frac{1}{4}}>014>0\textcolor{#7F7706}{\frac{1}{4}}>041>0

Es gibt also zwei Lösungen:

x_{1} = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{-4}{2} = \underline{\underline{-2}}x1=−52+12=−42=−2‾‾x_{1} = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{-4}{2} = \underline{\underline{-2}}x1=−25+21=2−4=−2x_2 = -\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{-6}{2} = \underline{\underline{-3}}x2=−52−12=−62=−3‾‾x_2 = -\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{-6}{2} = \underline{\underline{-3}}x2=−25−21=2−6=−3

Die Lösungsmenge lautet:

L=\{-2;-3\}L={−2;−3}L=\{-2;-3\}L={−2;−3}

pq-Formel - eine Lösung

Bestimme die Nullstellen der Funktion

f(x) = 4x^2-20x+25f(x)=4x2−20x+25f(x) = 4x^2-20x+25f(x)=4x2−20x+25

Setze die Funktion gleich Null.

4x^2-20x+25 = 04x2−20x+25=04x^2-20x+25 = 04x2−20x+25=0

Die quadratische Funktion ist nicht normiert. Teile also durch den Vorfaktor

4x^2 - 20x+25 = 0 \space\space\space | :44x2−20x+25=0∣:44x^2 - 20x+25 = 0 \space\space\space | :44x2−20x+25=0∣:4x^2 -5x+6,25 = 0x2−5x+6,25=0x^2 -5x+6,25 = 0x2−5x+6,25=0

Bestimme die Koeffizienten

p = (-5)p=(−5)p = (-5)p=(−5)q=6,25q=6,25q=6,25q=6,25

und setze sie in die pq-Formel ein.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−2p±(2p)2−q

Das sieht dann so aus:

Start

Du erhältst:

x_{1,2} = -\dfrac{(-5)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-5)}{2}\right)^2-6,25}x1,2=−(−5)2±((−5)2)2−6,25x_{1,2} = -\dfrac{(-5)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-5)}{2}\right)^2-6,25}x1,2=−2(−5)±(2(−5))2−6,25

Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.

x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - 6,25}x1,2=52±254−6,25x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4} - 6,25}x1,2=25±425−6,25x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{6,25 - 6,25} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{sc_color_1}{0}}x1,2=52±6,25−6,25=52±0x_{1,2} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{6,25 - 6,25} = \dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\textcolor{#7F7706}{0}}x1,2=25±6,25−6,25=25±0

Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) ist:

\textcolor{sc_color_1}{0}0\textcolor{#7F7706}{0}0

Es gibt also eine Lösung.

x = \dfrac{5}{2} + 0 = \underline{\underline{\dfrac{5}{2}}}x=52+0=52‾‾x = \dfrac{5}{2} + 0 = \underline{\underline{\dfrac{5}{2}}}x=25+0=25

Die Lösungsmenge lautet:

\underline{\underline{L=\left\{\dfrac{5}{2}\right\}}}L={52}‾‾\underline{\underline{L=\left\{\dfrac{5}{2}\right\}}}L={25}

pq-Formel - keine Lösung

Bestimme die Nullstellen der Funktion

f(x) = \frac{1}{2}x^2-3x+5f(x)=12x2−3x+5f(x) = \frac{1}{2}x^2-3x+5f(x)=21x2−3x+5

Setze die Funktion gleich Null.

\frac{1}{2}x^2-3x+5 = 012x2−3x+5=0\frac{1}{2}x^2-3x+5 = 021x2−3x+5=0

Die quadratische Funktion ist nicht normiert. Multipliziere mit 2222.

\frac{1}{2}x^2-3x+5 = \space\space\space |\cdot 212x2−3x+5=∣⋅2\frac{1}{2}x^2-3x+5 = \space\space\space |\cdot 221x2−3x+5=∣⋅2x^2-6x+10=0x2−6x+10=0x^2-6x+10=0x2−6x+10=0

Bestimme die Koeffizienten

p = (-6)p=(−6)p = (-6)p=(−6)q=10q=10q=10q=10

und setze sie in die pq-Formel ein.

x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−p2±(p2)2−qx_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}x1,2=−2p±(2p)2−q

Das sieht dann so aus:

Start

Du erhältst:

x_{1,2} = -\dfrac{(-6)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-6)}{2}\right)^2-10}x1,2=−(−6)2±((−6)2)2−10x_{1,2} = -\dfrac{(-6)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{(-6)}{2}\right)^2-10}x1,2=−2(−6)±(2(−6))2−10

Jetzt kannst du noch den Term vereinfachen.

\begin{aligned}

x_{1,2} & = \dfrac{6}{2} \pm \sqrt{\dfrac{36}{4} - 10} \\[3mm]

&= 3\pm \sqrt{9-10} \\[3mm]

&= 3\pm\sqrt{\textcolor{sc_color_1}{-1}}

\end{aligned}

x1,2=62±364−10=3±9−10=3±−1\begin{aligned}

x_{1,2} & = \dfrac{6}{2} \pm \sqrt{\dfrac{36}{4} - 10} \\[3mm]

&= 3\pm \sqrt{9-10} \\[3mm]

&= 3\pm\sqrt{\textcolor{#7F7706}{-1}}

\end{aligned}x1,2=26±436−10=3±9−10=3±−1

Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) ist

\textcolor{sc_color_1}{-1}<0−1<0\textcolor{#7F7706}{-1}<0−1<0

Es gibt also keine reelle Lösung.

Die Lösungsmenge ist leer und lautet:

\underline{\underline{L = \emptyset}}L=∅‾‾\underline{\underline{L = \emptyset}}L=∅

‍

Nächstes Thema:

Natürliche Exponentialfunktion

Weiter

pq-Formel einfach erklärt - simpleclub (2024)

Erklärung

Nullstellen und Diskriminante

Umformung zur normierten Form

Beispiele

pq-Formel - zwei Lösungen

pq-Formel - eine Lösung

pq-Formel - keine Lösung

Nullstellen und Diskriminante

Umformung zur normierten Form

pq-Formel - zwei Lösungen

pq-Formel - eine Lösung

pq-Formel - keine Lösung

References